[ 设计思想 ] 以复数的发生、发展、前沿为线索，学习复数的基本概念，领悟复数的基本思想，展现人类对数学不断追求和创造，同时展现我国在该领域的优势和差距，激发学生积极探索、勇于创新的精神，以崇高的责任感立志为国家的富强发愤学习。

[ 教学目标 ]

•  通过展现复数发展的不平凡历史，交流心得，激发学生积极探索、勇于创新的精神。

•  通过了解我国在复数方面的贡献和当前我们面临的任务，增强学生发愤学习的使命感。

•  通过合作讨论，进一步熟悉概念，领会基本思想，归纳并掌握解复数问题的基本方法。

[ 教学重点 ] 复数的发展历史和复数的基本思想。

[ 教学过程 ]

一、追溯发展历史

（ 1 ） 12 世纪印度数学家婆什迦罗在研究方程时，注意到负数开平方问题。他认为：“负数没有平方根”。

（ 2 ） 1545 年意大利业余数学家卡丹诺。

提出令人意外的表达式 。大胆写出负数的平方根 。

（ 3 ） 1637 年法国数学家笛卡尔开始使用“实数”和“虚数”这两个名词，但仅仅作为一种称呼。

（ 4 ） 1777 年瑞士数学家欧拉用符号 i 表示虚数单位。“一切形如 的数学式，都是不可能有的，都是想象的数，既不比“什么都不是”多些什么，也不比“什么都不是”少些什么。”

（ 5 ） 18 世纪挪威测绘员维赛尔和法国的会计师阿尔干利用笛卡尔的直角坐标系提出复数可以用平面上的点 来表示。

（ 6 ） 19 世纪德国数学家高斯给出“复数” 的概念。从此复数建立了完整的数学体系。

（ 7 ）复数的应用： 19 世纪以来，复数在流体力学、电学和空气动力学和等方面开始广泛的应用，巩固了复数在数学中的地位。

（ 8 ）我国在复数应用上达到极高的水平。如上海建筑新成就——杨浦大桥、卢浦大桥。

（ 9 ）陈省身 世界数学大师、中国数学泰斗、“微分几何之父”、第一届邵逸夫奖获得者。 “没有复数就没有电学，就没有近代文明！”

•  分小组讨论问题 1 ： 从开始注意到复数到虚数，一直到彻底认清他的真正

面目，经过了 600 多年的时间。期间，终多数学家面对这个问题竟然全都结束手无策，这种现象在整个数学历史上也是罕见的。

二、巩固概念理解

•  分小组讨论问题 2 ： 我们学习复数是否也会产生思维的定势？

三、精选典型问题

例 1 ． 已知 ，解方程

例 2 ． 已知复数 ，复数 z 满足 ，求复数 z 。

例 3 ． 若复数 z 满足│ z +1 │ = │ z - i │，求 z 所对应的点 Z 的集合构成的图形。

例 4 ． 已知复数 z 的模为 2 ，求│ z-i │的最大值。

例 5 ． 若复数 满足 ，则

成立。若复数 满足 ，则

成立 .

三、归纳解题方法

1 ．化虚为实

2 ．整体运算

3 ．几何运算

四、畅谈学习心得（小结）

分小组讨论问题 3 ： 我们学习复数有什么心得？

五、仰望前沿地带

（ 1 ）哈密顿 英国数学家、物理学家。认真地研究了从实数扩张到复数的过程，提出了“四元数”的概念。其后不久，凯莱又用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为“超复数”。

（ 2 ）著名华裔数学家陈省身出席第 24 届数学大会少年数学论坛。为少年儿童题词“数学好玩”、生前的希望： 把中国建设为数学大国！

六、课堂延伸问题

•  运用复数的基本思想方法反思复数的练习题。

•  自主学习复数的向量运算、复数的三角形式。

•  使用有效的途径了解复数的最新发展动态。